一、要點(diǎn)點(diǎn)擊所謂建模思想，即將具有實(shí)際意義的應(yīng)用問題，通過數(shù)學(xué)思考方法抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以達(dá)到問題的解決。我們所學(xué)習(xí)的各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理、推論等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是刻畫現(xiàn)實(shí)世界本質(zhì)聯(lián)系的重要方法。為使學(xué)生掌握建模方法，經(jīng)歷真正的“做數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”的過程，我們的教科書也力圖采用“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開，通過對(duì)一個(gè)個(gè)問題的研討，逐步展開相應(yīng)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，分析問題的過程就是建模過程，分析、解決問題的能力就是數(shù)學(xué)建模能力。

      數(shù)學(xué)建模的基本思路是：

      二、類型歸納

      初中數(shù)學(xué)建模方法歸納起來主要有：方程（組）模型、不等式（組）模型、函數(shù)模型、三角函數(shù)或幾何模型、統(tǒng)計(jì)與概率模型等。

      三、典例精析

      1、方程（組）模型：

      例1、張新和李明約到圖書城去買書，請(qǐng)你根據(jù)他們的對(duì)話內(nèi)容，求出李明上次所買書藉的原價(jià)。

      【解析】通過分析，可知本題的等量關(guān)系為：書的八折價(jià)+20 元會(huì)員卡=原書價(jià)-12 元，即可列出方程。

      解：設(shè)李明上次購買書籍的原價(jià)是x元由題意有0.8x+20=x-12，解得x=160 點(diǎn)評(píng)：本題的條件來源于兩位學(xué)生的對(duì)話，題型新穎，要學(xué)會(huì)捕捉信息，分析數(shù)量關(guān)系，巧設(shè)未知數(shù)，列出方程（組）。

      2、不等式（組）模型：

      例2、某體育館用品商場采購員要到廠家批發(fā)購進(jìn)籃球和排球共100 只，付款總額不得超過11815 元，已知兩種球廠家的批發(fā)價(jià)和商場的零售價(jià)如下表，試解答下列問題：

      （1）該采購員最多可進(jìn)籃球多少只？

      （2）若該商場把這100 只球全部以零售價(jià)售出，為使商場獲得的利潤不低于2580 元，則采購員至少要購買籃球多少只，該商場最多可盈利多少元？

      【解析】解：（1）設(shè)采購員最多可購進(jìn)籃球 x只，則排球是（100-x）只，依題意得：130x+100（100-x）≤11815 解得x≤60.5 ∵x是整數(shù)，∴x=60。答：該采購員最多可購進(jìn)籃球60只。

      （2）由表中可知籃球的利潤大于排球的利潤，因此這100 只球中，當(dāng)籃球最多時(shí)，商場可盈利最多，即籃球60只，此時(shí)排球40只。商場可盈利（160-130）×60+（120-100）× 40=2600（元）即該商場可盈利2600元。

      點(diǎn)評(píng)：解這類問題，要求既要讀懂題意，更要看懂圖表，獲得正確的信息，理解顯性或隱性的不等關(guān)系，通過構(gòu)建不等式（組）解決問題。在市場經(jīng)營、生產(chǎn)決策、體育竟技、方案設(shè)計(jì)、盈虧分析、投資決策等問題中都可考慮轉(zhuǎn)化為不等式（組）求解。

      3、函數(shù)模型：

      例3、正方形ABCD 的邊長為3a，兩動(dòng)點(diǎn) E、F 分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同的速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，與△BCF相應(yīng)的△EGH在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持△EGH≌△BCF，對(duì)應(yīng)邊 EG=BC，B、E、C、G在一直線上。

      （1）若BE=a，求DH的長；

      （2）當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)， △DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值。

      解：（1）連結(jié)FH，則FH//BE 且FH=BE， Rt △DFH 中，DF=3a-a=2a，F(xiàn)H=a，∠DFH= 90o，所以，DH= a。

      （2）設(shè)BE=x，△DHE的面積為y，依題意 y取最小值，△DHE的面積y的最小值為a2。點(diǎn)評(píng)：本題中的（2）就是通過構(gòu)建二次函數(shù)模型來完成的。在社會(huì)生活中的最大（小）值、選擇方案等問題多可用函數(shù)模型解決。

      4、三角函數(shù)或幾何模型：

      例4，如圖，一艘輪船自西向東航行，在A 處測得東偏北21.3o方向有一座小島C，繼續(xù)向東航行60 海里到達(dá)B 處，測得小島C此時(shí)在輪船的東偏北63.5°方向上，之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？（參考數(shù)據(jù)：sin21.3° ≈ ，tan21.3° ≈ , sin63.5°≈ ,tan63.5°≈2）

      【解析】如圖，過C作AB 的垂線，交直線 AB于點(diǎn)D，得到Rt△ACD與Rt△BCD。設(shè)BD=x 海里，在Rt △ BCD 中， CD=x·tan63.5° 在Rt△ACD 中，CD=（60+ x）·tan21.3° ∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°，即2x= (60+x)，解得，x=15 點(diǎn)評(píng)：本題的圖形是一個(gè)雙直角三角形，是解直角三角形中最常見的基本圖形，它本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。實(shí)際生活中的測量、航海、邊角余料加工、工程定位、坡比計(jì)算等應(yīng)用題，都涉及一定圖形的性質(zhì)，常需要建立相應(yīng)的三角函數(shù)或幾何模型求解。

      5、統(tǒng)計(jì)與概率模型：

      例5：小華與小麗設(shè)計(jì)了A、B兩種游戲：游戲A的規(guī)則：用3 張數(shù)字分別是2、3、4 的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上，第一次隨機(jī)抽出一張牌記下數(shù)字后再原樣放回，洗勻后再第二次隨機(jī)抽出一張牌記下數(shù)字，若抽出的兩張牌上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則小華獲勝；若兩數(shù)字和為奇數(shù)，則小麗獲勝。

      游戲B的規(guī)則；用4 張數(shù)字分別是5、6、8、 8 的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置桌面上，小華先隨機(jī)抽出一張牌，抽出的牌不放回，小麗從剩下的牌中再隨機(jī)抽出一張牌，若小華抽出的牌面上的數(shù)字比小麗抽出的牌面上的數(shù)字大，則小華獲勝；否則小麗獲勝。請(qǐng)你幫小麗選擇其中一種游戲，使她獲勝的可能性較大，并說明理由。

      解：對(duì)游戲A用列表法：

     所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9 種，其中兩數(shù)字和為偶數(shù)的有5 種，所以游戲A小華獲勝的概率為，而小麗獲勝的概率為，即游戲A 對(duì)小華有利，獲勝的可能性大于小麗。對(duì)游戲B用列表法：

      所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12 種，其中小華抽出的牌面上的數(shù)字比小麗大的有5 種；根據(jù)游戲B的規(guī)則，當(dāng)小麗抽出的牌面上的數(shù)字與小華抽到的數(shù)字相同或比小華抽到的數(shù)字小時(shí)，則小麗勝，所以游戲B小麗獲勝的概率為，即游戲B對(duì)小麗有利，獲勝的可能性大于小華。

      點(diǎn)評(píng)：對(duì)游戲規(guī)則公平性的研究，實(shí)際上是事件發(fā)生可能性的一種應(yīng)用，有利于培養(yǎng)同學(xué)們公平、公正的態(tài)度，形成正確的世界觀。對(duì)于題目中出現(xiàn)擲骰子、玩撲克、摸球等游戲及其他隨機(jī)事件時(shí)，可利用概率這一數(shù)學(xué)模型解決，在求概率時(shí)，一般要先列表或畫樹狀圖，從而直觀得到概率。

      數(shù)學(xué)建模思想在日常生活中的應(yīng)用很廣，只要同學(xué)們夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，留心身邊的數(shù)學(xué)，掌握所學(xué)的各種數(shù)學(xué)模型的特征與本質(zhì)，就一定能熟練靈活地應(yīng)用它們解題。